Théorie ondulatoire statistique
Résumé
La théorie ondulatoire statistique établit formellement les lois statistiques vérifiées par les solutions de l’équation des ondes, dans un domaine connexe et borné de l’espace. Elle constitue ainsi la solution mathématique d’un problème très ancien en acoustique des salles, qui a fait couler beaucoup d’encre depuis les travaux pionniers de Wallace Clement Sabine à la fin du XIXe siècle : l’étude du phénomène de réverbération.
Elle fournit notamment l’expression analytique de la distribution de puissance et des corrélations du champ acoustique par rapport au temps, la fréquence et la position dans l’espace, en fonction de la géométrie de la salle et des conditions aux limites. Elle nous permet par exemple de retrouver et d’améliorer, dans le cas particulier d’un champ acoustique isotrope, les formules du temps de réverbération originalement établies par Sabine et Eyring, ainsi que la formule de corrélation spatiale. Mais elle s’applique également à des formes géométriques pouvant engendrer un champ acoustique anisotrope.
Notre objectif sera ici de présenter cette théorie de la manière la plus simple et intuitive possible, en l’abordant sous un angle purement géométrique. Nous montrerons ainsi que deux chemins mathématiques très différents, le premier basé sur l’asymptotique de Weyl et les billards mathématiques, le second basé sur la géométrie et la cristallographie, convergent vers les mêmes conclusions, ce qui nous rend extrêmement confiants quant à la validité scientifique de cette théorie. Nous fournirons également la confirmation expérimentale de certaines prédictions de la théorie, qui vont au-delà des propriétés statistiques déjà connues de la réverbération.